Partie C : approche graphique de la fonction ln

On admet que la fonction exponentielle admet une fonction réciproque : la fonction logarithme népérien, notée \(\text{ln}\). Cela signifie que, pour \(x\) réel et \(y\) réel strictement positif tels que \(\text{e}^x = y\), on a \(x = \text{ln}(y)\).

Propriété (admise)

Soit \(f\) une fonction admettant une fonction réciproque. Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction \(f\) et de sa fonction réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y=x\).

Dans le fichier de géométrie dynamique ci-dessous sont tracées :

• en vert, la courbe représentative de la fonction exponentielle \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) ;
  
• en pointillés, la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y=x\).

Par ailleurs, \(\text{A}\) est un point de \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) d'abscisse \(a\) et \(\text{A}^{\prime}\) est le symétrique du point \(\text{A}\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\).
1. En faisant varier le curseur a, observer la position de \(\text{A}'\) et expliquer comment construire le point \(\text{A}^{\prime}\).

2. a. Dans le fichier de géométrie dynamique, faire varier la valeur de \(a\) et faire apparaître la courbe \(\mathcal{C^{\prime}}\) représentative de la fonction logarithme népérien, symétrique de la courbe \(\mathcal{C}_{\text{exp}}\) par rapport à la droite \(\mathcal{D}\). 
    b. À l'aide du graphique, conjecturer l'intervalle de définition de la fonction \(\text{ln}\).
3. a. Donner les valeurs de \(\text{ln} (1)\) et \(\text{ln} (\text{e})\).
    b. Conjecturer le sens de variations de la fonction \(\text{ln}\).
    c. Conjecturer le signe de la fonction \(\text{ln}\).